Question

已知函数f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当0＜a≠1时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的导数，令f′（2）=5求出a的值，切点P（2，f（2））在函数f（x）和直线y=5x-4上，可求出b的值，最后得到答案．
（Ⅱ）对f′（x）的解析式因式分解后讨论可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
由导数的几何意义得f'（2）=5，于是a=3．
∴f（x）=x³-2x²+x-b．
由切点P（2，f（2））在直线y=5x-4上，
∴f（2）=5×2-4，即2+b=6，
解得b=4．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=x³-2x²+x+4；
（Ⅱ）f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-

1

a

)(x-1)，
令f′（x）=0，则x=1或x=

1

a

①当0＜a＜1时，

1

a

＞1，令f′（x）＞0，则x＜1或x＞

1

a

；令f′（x）＜0，则1＜x＜

1

a

，
则函数f（x）在区间（-∞，1）及(

1

a

，+∞)上为增函数，在区间(1，

1

a

)上为减函数；       
②当a＞1时，

1

a

＜1，令f′（x）＞0，则x＞1或x＜

1

a

；令f′（x）＜0，则

1

a

＜x＜1，
函数f（x）在区间(- ∞，

1

a

)及（1，+∞）上为增函数，在区间(

1

a

，1)上为减函数．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．