Question

已知定义域为R上的函数f（x）满足f（2+x）=-f（2-x），当x＜2时，f（x）单调递增，如果x₁+x₂＜4，且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．可能为0
B．恒大于0
C．恒小于0
D．可正可负

Answer 1

【答案】分析：由f（2+x）=-f（2-x），知f（2）=0，且函数是关于x=2的奇函数，由当x＜2时，f（x）单调递增，知当x＞2时，f（x）单调递增，由此能求推导出f（x₁）+f（x₂）＜0．
解答：解：∵f（2+x）=-f（2-x），
∴令x=0，得f（2）=-f（2），∴f（2）=0，
且函数是关于x=2的奇函数，
∵当x＜2时，f（x）单调递增，∴当x＞2时，f（x）单调递增，
∵x₁+x₂＜4，且（x₁-2）（x₂-2）＜0，
∴设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂，
f（x₁）=-f（4-x₁），x₂＜4-x₁，
∵x＞2，f（x）是增函数，
∴f（x₂）＜f（4-x₁）=-f（x₁），
∴f（x₁）+f（x₂）＜0．
故选C．
点评：本题考查函数值的应用，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性、单调性的合理运用．