题目内容
已知函数f（x）=ax﹣1n（1+x2）
（1）当
时，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）证明：当x＞0时，1n（1+x2）＜x；
（3）证明：
，其中e为自然对数的底数）
考点：
函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
专题：
综合题；导数的综合应用．
分析：
（1）当
时，先求出f′（x）=
=
，再由f′（x）=0，得
，x2=2，由此能求出当时，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值．
（2）令g（x）=x﹣ln（1+x2），
=
≥0，故g（x）在（0，+∞）上是增函数，由此能够证明当x＞0时，1n（1+x2）＜x．
（3）由ln（x2+1）＜x，取x=
，
，…，
，能够证明
，其中e为自然对数的底数）．
解答：
（1）解：当
时，f（x）=
，
∴f′（x）=
=
，
由f′（x）=0，得
，x2=2，
∵f（x）在（0，
）上递增，在（，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f（x）极大值为f（）=
，f（x）极小值为f（2）=
．
（2）证明：令g（x）=x﹣ln（1+x2），
=
≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴ln（1+x2）＜x．
（3）证明：由（2）得ln（x2+1）＜x，
取x=
，
，…，
，
∴ln（1+
）+ln（1+
）+…+ln（1+
）
＜
+
+…+
=（1﹣
）+（
）+…+（
）
=1﹣
＜1，
∴
，其中e为自然对数的底数）．
点评：
本题考查函数的极值的求法，考查不等式的证明，综合性强，难度大，具有一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
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