Question

（2013•和平区二模）若直线y=x+m与曲线y=3-

x(4-x)

有公共点，则m所的取值范围是（　　）

• A．[1-2

  2

  ，1+2

  2

  ]
• B．[1-2

  2

  ，3]
• C．[1-

  2

  ，3]
• D．[-1，1+2

  2

  ]

Answer 1

分析：先求出曲线y=3-

x(4-x)

的定义域，同时将曲线进行等价转化为半圆，然后利用直线与圆的位置关系进行判断求值．

解答：解：由x（4-x）≥0，得0≤x≤4．由y=3-

x(4-x)

得（y-3）²=x（4-x）=-x²+4x，且y≤3．
即（x-2）²+（y-3）²=4，因为0≤x≤4，所以曲线为圆心为（2，3），半径为2的下半圆．
圆心到直线距离d=

|2-3+m|

12+12

=

|m-1|

2

，由

|m-1|

2

≤2，解得1-2

2

≤m≤1+2

2

．
因为圆是下半圆，所以当直线y=x+m经过点（0，3）时，m取到最大值3，所以1-2

2

≤m≤3．即m所的取值范围是[1-2

2

，3]．

故选B．

点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用．本题在对曲线进行等价化简时，要注意取值的等价性，如果不注意隐含条件，本题很容易会把曲线看成整圆，而导致出错是个出错．本题容易错选A答案．