题目内容
【题目】已知曲线
所围成封闭图形面积为
,曲线
是以曲线
与坐标轴的交点为顶点的椭圆, 离心率为
. 平面上的动点
为椭圆
外一点,且过
点
引椭圆
的两条切线互相垂直.
（1）求曲线
的方程；
（2）求动点
的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）利用
和离心率为
得到关于
的方程组，进而求出曲线的方程；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于
的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及两直线垂直进行求解.
试题解析：（1）因为
所围成封闭图形面积
椭圆
的离心率为
，所以
，解得
， 得
故椭圆
的方程为
．
（2）设
,当两切线
的斜率存在且不为
时，设
的方程为
，
联立直线
和椭圆
的方程，得
，消去
并整理，得:
因为直线
和椭圆
有且仅有一个交点， 
，
化简并整理，得
．＊
同理直线
的斜率
满足方程＊,又因为两切线
垂直，所以两切线斜率之积
.
， 
． ①
当切线
的斜率为
时, 
的斜率不存在，此时
，符合①式．
综上所述，点
的轨迹方程为
．
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【题目】市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：
），频数分布如下：
分组 |
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频数 | 4 | 8 | 15 | 22 | 25 | 14 | 6 | 4 | 2 |
（1）根据所给数据将频率分布直图补充完整（不必说明理由）；
（2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；
（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.
