Question

当α∈（0°，180°）变化时，方程x²sinα+y²cosα=1表示的曲线的形状怎样变换？

Answer 1

分析：根据sinα，cosα的符号，对角α分五类进行讨论，由直线、圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体类型．

解答：解：当α≠90°时，∵x²sinα+y²cosα=1，∴

x2

1 sinα

+

y2

1 cosα

=1．
（1）当0⁰＜α＜45⁰时，0＜sinα＜cosα，曲线是焦点在X轴上的椭圆；（3分）
（2）当α=45⁰时，sinα=cosα=

2

2

，曲线是圆；（2分）
（3）当45⁰＜α＜90⁰时，sinα＞cosα＞0，曲线是焦点在Y轴上的椭圆；（3分）
（4）当α=90⁰时，方程为x=±1，曲线是两条直线；（2分）
（5）90⁰＜α＜180⁰时，sinα＞0，cosα＜0，曲线是焦点在X轴上的双曲线．（4分）

点评：本题考查了方程含有参数时讨论表示的曲线问题，需要根据系数的符号进行分类讨论，分别再由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状，考查了分类讨论思想．