Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

3

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

（1）易得c=0，设二次函数f（x）=ax²+bx+c，则f'（x）=2ax+b．…（1分）
由于f'（x）=6x-2，得：a=3，b=-2…（2分）
所以f（x）=3x²-2x．…（3分）
（2）由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上，又f（x）=3x²-2x，
所以Sn=3n2-2n．…（4分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5；…（6分）
当n=1时，a1=S1=3×12-2=5．…（7分）
所以，a_n=6n-5（n∈N^*）…（8分）
（3）由（2）得知bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)[6(n+1)-5]

=

3

(6n-5)(6n+1)

…（9分）
=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，…（11分）
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]
=

1

2

(1-

1

6n+1

)．…（12分）
要使Tn=

1

2

(1-

1

6n+1

)=

1

2

-

1

2(6n+1)

＜f（x）（[1，e]）成立，需要满足

3

2

≤a，…（13分）
即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．…（14分）