Question

设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是        .

Answer 1

分析：本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数φ(x)=f(x)g(x),利用φ(x)的性质解决问题.

解：设φ(x)=f(x)g(x),则φ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.

∴φ(x)在(-∞,0)上是增函数且φ(-3)=0.

又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,

∴φ(x)=f(x)g(x)为奇函数.

∴φ(x)在(0,+∞)上也是增函数且φ(3)=0.

当x<-3时,φ(x)<φ(-3)=0,即f(x)g(x)<0;

当-3<x<0时,φ(x)>φ(-3)=0,即f(x)g(x)>0.

同理,当0<x<3时,f(x)g(x)<0;

当x>3时,f(x)g(x)>0.

∴f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).

答案：(-∞,-3)∪(0,3).