Question

已知函数f（x）=lnx-，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R，
（Ⅰ）当a=1时判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若x₁∈（0，1），x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且，
所以f(x)为增函数。
（Ⅱ），g（x）的定义域为（0，+∞），
，
因为g（x）在其定义域内为增函数，
所以，
，
而，当且仅当x=1时取等号，
所以；
（Ⅲ）当a=2时，，
由，
当；
所以在（0，1）上，，
而“，总有成立”等价于 “g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”，
而h（x）在[1，2]上的最大值为，
所以有，
所以实数m的取值范围是。