Question

设F₁、F₂分别为双曲线：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是

1. A.
   [3，+∞）
2. B.
   （1，3]
3. C.
   （1，]
4. D.
   [，+∞）

Answer 1

B
分析：设|PF₂|=t，则|PF₁|=2a+t，故 ==4a++t≥8a，由2a≥c-a 及 e＞1 求得e 的范围．
解答：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a． 设|PF₂|=t，则|PF₁|=2a+t，
故 ==4a++t≥4a+2=8a，当且仅当 t=2a时，等号成立．
又∵t≥c-a，∴2a≥c-a，∴e=≤3．
又因为 e＞1，故e 的范围为 （1，3]，
故选B．
点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用 t≥c-a 是解题的关键．