题目内容

已知：a，b是正常数，x，y∈R*，且a+b=10，
a
x
+
b
y
=1，x+y的最小值为18，求a、b的值．
分析：将x+y变形后使用基本不等式，写出它的最小值的解析式，据此解析式的结果为8，a+b=10，求出a、b的值．
解答：解：∵x+y=（x+y）（
a
x
+
b
y
）
=a+b+
bx
y
+
ay
x
≥a+b+2
ab

当且仅当bx2=ay2时等号成立．
∴x+y的最小值为a+b+2
ab
=18
又a+b=10．①
∴2
ab
=8，
∴ab=16．②
由①②可得a=2，b=8，或a=8，b=2．
点评：本题考查基本不等式的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知a、b是正常数，若0＜x＜1，则函数f（x）=
a
x
+
b
1-x
的最小值是
（a+b）+2
ab
（a+b）+2
ab
．
已知动圆：x2+y2-2axcosθ-2bysinθ=0（a，b是正常数，a≠b，θ是参数），则圆心的轨迹是
椭圆
椭圆
．
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）定理：函数g(x)=ax+
b
x
（a、b是正常数）在区间(0，
b
a
)上为减函数，在区间(
b
a
，+∞)上为增函数．参考该定理，解决下面问题：是否存在实数m同时满足以下两个条件：①不等式f(x)-
m
2
＞0恒成立；②方程f（x）-m=0有解．若存在，试求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．
已知：a，b是正常数，x，y∈R*，且a+b=10，+=1，x+y的最小值为18，求a、b的值．

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