Question

已知函数f(x)=

x2+1

ax+b

对于定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），且f（1）=2．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，-1）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=

x2+1

ax+b

对于定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），且f（1）=2，可构造一个关于a，b的方程组，解方程组，即可得到a，b的值；
（2）任意区间（-∞，-1）上的两实数，且x₁＜x₂，构造出f（x₁）-f（x₂），并判断其符号，进而根据函数单调性的定义，即可得到f（x）在（-∞，-1）上是增函数．

解答：解：（1）因为f（-x）=-f（x）
即

x2+1

-ax+b

=-

x2+1

ax+b

（2分）
所以-ax+b=-ax-b
∴b=0，（4分）
又f（1）=2，所以

2

a+b

=2，
∴a=1（6分）
（2）由（1）得f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

设x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意两实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，（9分）
因为x₁＜x₂＜-1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）（11分）
所以f（x）在（-∞，-1）上是增函数（12分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数解析式的求法，其中（1）的关键是根据已知条件，构造一个关于a，b的方程组，（2）的关键是熟练掌握定义法（作差法）证明函数单调性的方法和步骤．