Question

已知二次函数f（x）=x²-2（2a-1）x+5a²-4a+2在区间[0，1]上的最小值g（a）的解析表达式．

Answer 1

分析：化简函数的解析式，可得函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x=2a-1，分当2a-1＜0、当
0≤2a-1≤1、当2a-1＞1三种情况，分别求得g（a），综合可得结论．

解答：解：函数f（x）=x²-2（2a-1）x+5a²-4a+2=[x-（2a-1）]²+a²+1，
图象开口向上，对称轴为直线x=2a-1，设其在区间[0，1]上的最小值g（a），
则（1）当2a-1＜0时，即a＜

1

2

时，g（a）=f（0）=5a²-4a+2；
（2）当0≤2a-1≤1时，即

1

2

≤a≤1时，g（a）=f（2a-1）=a²+1；
（3）当2a-1＞1时，即a＞1时，g（a）=f（1）=5a²-8a+5．
综上所述：二次函数f（x）在区间[0，1]上的最小值为
g(a)=

5a2-4a+2，a≤ 1 2 a2+1， 1 2 ≤a≤1 5a2-8a+5，a＞1

．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题