题目内容

如图3-8,已知F1、F2是双曲线的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于F1F2的弦且双曲线的离心率为+1,求∠PF2Q.

图3-8

解析:设双曲线的实轴为2a,焦距为2c,则PF2-PF1=2a,F1F2=2c.

在Rt△PF1F2中

PF1=,

∴PF2==2a.

又∵e==+1,∴2a=2(-1)c.

∴PF2-=2(-1)c.

解之,得PF2=2c.

∴cos∠PF2F1=.

∴∠PF2F1=45°.

由对称性,∴∠QF2F1=45°.

∴∠PF2Q=90°.


练习册系列答案
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（2011•盐城模拟）（本题文科学生做）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1（-4，0），F2（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF1、AF2分别交于点P、Q．
（Ⅰ）当t=3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C．
①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②圆C是否恒过异于点F1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
（本题文科学生做）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1（-4，0），F2（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF1、AF2分别交于点P、Q．
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（Ⅱ）过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C．
①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②圆C是否恒过异于点F1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
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①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②圆C是否恒过异于点F1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
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