题目内容

设函数g（x）=
1
3
x3+
1
2
ax2-bx（a，b∈R），在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．
分析：（1）根据导数的几何意义求出f（x）=g'（x），再根据-2、4是方程f（x）=0的两个实数，由韦达定理建立方程组，解之即可；
（2）根据g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，得到函数g（x）在区间[-1，3]上恒有f（x）=g'（x）≤0，然后建立关于a和b的约束条件，而a2+b2可视为平面区域
a+b≥1
b-3a≥9
内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，从而求出a2+b2的最小值．
解答：解：（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x2+ax-b
由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的两个实数
由韦达定理，
-2+4=-a
-2×4=-b
∴
a=-2
b=8
，f（x）=x2-2x-8（7分）
（2）g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，
所以在[-1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax-b≤0，即f（x）=x2+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
这只需满足
f(-1)≤0
f(3)≤0
即可，也即
a+b≥1
b-3a≥9

而a2+b2可视为平面区域
a+b≥1
b-3a≥9
内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，
所以当
a=-2
b=3
时，a2+b2有最小值13．（14分）
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及线性规划的应用等基础知识，考查灵活运用数形结合的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当k∈（
1
2
，1]时，求函数f（x）在[0，k]的最大值M．
（3）当k=0时，又设函数g（x）=ln（1+
2
x-1
）-
2x2+x
2x+2
，求证：当n≥2，且n∈N*时，1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞g（n）+lnf（n）．
已知函数f(x)=
x+1-a
a-x
(a∈R且x≠a)．
（1）当f（x）的定义域为[a+
1
3
，  a+
1
2
]时，求f（x）的值域；
（2）求f（-3a）+f（-2a）+f（-a）+f（0）+f（2a）+f（3a）+f（4a）+f（5a）的值；
（3）设函数g（x）=x2+|（x-a）•f（x）|，求g（x） 的最小值．
函数f（x）的图象与函数g（x）=(
13
)x的图象关于直线y=x对称，设φ（x）=f（4x-x2），则函数φ（x）的递减区间是
（0，2]
（0，2]
．
已知函数f （x）=ax+2-1（a＞0，且a≠1）的反函数为f-1（x）．
（1）求f-1（x）；
（2）若f-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；
（3）设函数g（x）=loga
a
x-1
，求不等式g（x）≤f-1（x）对任意的a∈[
1
3
，
1
2
]恒成立的x的取值范围．
已知函数f(x)=1+lo
g
x
2
，x∈[
1
64
，16]，令g（x）=[f（x）]2+f（x2）+p，p为常数．
（Ⅰ）若g（x）的最大值为13，求p的值；
（Ⅱ）函数g（x）是否存在大于1的零点？若存在，求出实数p的取值范围，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）设函数g（x）有两个互异的零点α，β，求p的取值范围，并求α•β的值．

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