Question

已知函数f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R且x≠a)．
（1）当f（x）的定义域为[a+

1

3

，  a+

1

2

]时，求f（x）的值域；
（2）求f（-3a）+f（-2a）+f（-a）+f（0）+f（2a）+f（3a）+f（4a）+f（5a）的值；
（3）设函数g（x）=x²+|（x-a）•f（x）|，求g（x） 的最小值．

Answer 1

分析：（1）先判断函数在[a+

1

3

， a+

1

2

]上为增函数，从而可求函数的值域；
（2）根据解析式，可先求得f（-3a）+f（5a）=-2；f（-2a）+f（4a）=-2；f（-a）+f（3a）=-2；f（0）+f（2a）=-2，从而得解；
（3）考虑将绝对值符合去掉，再利用二次函数求最值的方法进行分类讨论．

解答：解：（1）由题意，f(x)=-1+

1

a-x

(a∈R且x≠a)，故可知函数在[a+

1

3

， a+

1

2

]上为增函数
∴f（x）的值域为[-4，-3]；
（2）f（-3a）+f（5a）=-2；f（-2a）+f（4a）=-2；f（-a）+f（3a）=-2；f（0）+f（2a）=-2
∴f（-3a）+f（-2a）+f（-a）+f（0）+f（2a）+f（3a）+f（4a）+f（5a）=-8
（3）g（x）=x²+|（x-a）•f（x）|=x²+|x-a+1|，
①当 x≥a-1时，g（x）=x²+x-a+1，
1）当a-1≤-

1

2

时，g（x）_min=g（-

1

2

）=

3

4

-a
2）当a-1＞-

1

2

时，g（x）_min=g（a-1）=a²-2a+1
②当 x≤a-1时，g（x）=x²-x+a-1，
1）当a-1≤

1

2

时，g（x）_min=g（

1

2

）=

7

4

-a
2）当a-1＞

1

2

时，g（x）_min=g（a-1）=a²-2a+1

点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查二次函数的值域，最值问题，关键是考虑对称轴与区间的关系，正确分类．