题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0），离心率为
的椭圆经过点（
，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1，l2分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 6 |
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1，l2分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
=
，经过点（
，1）即
+
=1可求得a2，b2；
（2）设出直线AB，CD的方程与椭圆方程联立，求得相应弦长，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可Q求得λ，从而问题得到解决．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| 6 |
(
| ||
| a2 |
| 12 |
| b2 |
（2）设出直线AB，CD的方程与椭圆方程联立，求得相应弦长，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可Q求得λ，从而问题得到解决．
解答：解：（1）∵椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，经过点（
，1），
∴e=
=
?
=
=
①，
+
=1②，
由①②解得a2=8，b2=4，
∴该椭圆的标准方程为：
+
=1；
（2）∵椭圆
+
=1的左焦点F1（-2，0）；
设过其左焦点F1的直线AB的方程为：y=k1（x+2），k1≠0
由方程组
得（2k12+1）x2+8k12x+8k12-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1•x2=
由弦长公式得|AB|=
•
=
，
同理设C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=
•
=
，，
由（1）k1•k2=-1得k2=-
，代入得|CD|=
，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=
=
+
=
=
，则存在λ=
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 6 |
∴e=
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| c2 |
| a2 |
| a2-b2 |
| a2 |
| 1 |
| 2 |
(
| ||
| a2 |
| 12 |
| b2 |
由①②解得a2=8，b2=4，
∴该椭圆的标准方程为：
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）∵椭圆
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
设过其左焦点F1的直线AB的方程为：y=k1（x+2），k1≠0
由方程组
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| -8k12 |
| 2k12+1 |
| 8k12-8 |
| 2k12+1 |
由弦长公式得|AB|=
| 1+k12 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
4
| ||
| 2k12+1 |
同理设C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=
| 1+k22 |
| (x3+x4)2-4x3x4 |
4
| ||
| 2k22+1 |
由（1）k1•k2=-1得k2=-
| 1 |
| k1 |
4
| ||
| k12+2 |
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=
| |AB|+|CD| |
| |AB|•|CD| |
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 3 | ||
4
|
3
| ||
| 8 |
3
| ||
| 8 |
点评：本题重点考查直线与圆锥曲线的综合，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用弦长公式，综合性强，属于难题．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目