Question

已知函数f(x)=x-

a

x

(a＞0)，有下列四个命题：
①f（x）是奇函数；
②f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减；
④f（x）零点个数为2个；
⑤方程|f（x）|=a总有四个不同的解．
其中正确的是______．（把所有正确命题的序号填上）

Answer 1

①由题意得函数定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）又因为f(x)=x-

a

x

(a＞0)所以f(-x)=-x+

a

x

=-(x-

a

x

)=-f(x)所以f（x）是奇函数．所以①正确．
②令f（x）=0得即x-

a

x

=0解得x=

a

或x=-

a

所以值域内包含有0．所以②错误．
③f′（x）=1+

a

x2

＞0所以f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增；所以③错误．
④令f（x）=0得即x-

a

x

=0解得x=

a

或x=-

a

所以f（x）零点个数为2个；所以④正确．
⑤因为f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增且f（x）零点个数为2个所以函数y=|f（x）|在定义域内分四段，又因为a＞0所以方程|f（x）|=a总有四个不同的解；
故答案为（1）（4）（5）．