Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE．

 

Answer 1

（1）见试题解析；（2）见试题解析。

【解析】

 

试题分析：（1）根据面面垂直的判定定理，可先证直线平面，根据棱柱的性质可知，又已知AD⊥DE，又，所以平面。（2）根据两直线垂直于同一平面，则两直线平行，在结合（1），可先证平面，设为的中点，则，根据棱柱的性质可知，又，则平面，又平面，∴， 根据线面平行的判定定理可知直线A1F∥平面ADE．

试题解析：证明（1）∵是直三棱柱，∴平面， 2分

∵平面，∴， 3分

∵，，平面，，

∴平面， 4分

∵平面，∴平面平面； 6分

（2）∵，为的中点，∴， 7分

∵平面，且平面，∴， 9分

∵，平面，，

∴平面， 10分

由（1）知，平面，∴， 11分

∵平面，平面，∴平面．

考点：（1）棱柱的性质，（2）面面垂直、线面垂直的判定定理及性质定理，（3）线面平行的判定定理及性质定理。