Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BC、A₁D₁的中点，
（1）求异面直线BC、DF所成的角的正切值；
（2）若在正方体内放置一个铁球，求可放置的最大球的体积；
（3）求证：四边形B₁EDF是菱形。

Answer 1

（1）解：2；
（2）解：答案“略”；
（3）证明：由题目中图所示，
由勾股定理，得，
下证B′、E、D、F四点共面，
取AD中点G，连结A′G、EG，
由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形，
∴B′E∥A′G，
又A′FDG，
∴A′GDF为平行四边形，
∴A′G∥FD，
∴B′、E、D、F四点共面，
故四边形B′EDF是菱形。