题目内容

若函数f(x)=sin(2x+φ)对任意x都有f(-x)=f(+x).

(1)求f()的值;

(2)求φ的最小正值;

(3)当φ取最小正值时,若x∈［-,］,求f(x)的最大值和最小值.

解析：(1)由f(-x)=f(+x),知f(x)的图象关于直线x=对称.

又∵这个图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,

故f()=±.

(2)由f()=±,得2·+φ=kπ+(k∈Z),

解得φ=-+kπ(k∈Z).取k=1,得φ=,即为φ的最小正值.

(3)f(x)=sin(2x+),

当-≤x≤时,≤2x+≤,

∴当2x+=,即x=-时,f(x)取最大值;

当2x+=,即x=时,f(x)取最小值-.

点评：正弦函数在某区间上的最值与在x∈R上的最值的区别.

练习册系列答案
相关题目
若函数f(x)=sin(ωx+
π
4
)(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数f（x）的图象，只要将y=sin2x的图象（　　）
判断下列各命题：
①若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
②α，β都是第一象限角，若sinα＞sinβ，则cosα＜cosβ；
③若函数f(x)=sin(
x+5π
2
)，g(x)=cos(
x+5π
2
)，则f（x）是偶函数，g（x）是奇函数
④若函数y=sin2x的图象向左平移
π
4
个单位，得到函数y=sin(2x+
π
4
)的图象．
其中正确有命题为（　　）
若函数f(x)=sin(ωx+?)(ω＞0，|?|＜
π
2
)的部分图象如图所示，则ω+?=
1
2
+
π
6
1
2
+
π
6
．
（2012•江苏三模）若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，且|φ|＜
π
2
)，在区间[
π
6
，
2π
3
]上是单调减函数，且函数值从1减少到-1，则f(
π
4
)=
3
2
3
2
．
已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：At={y|y=f(x)，点P(t，f(t))，Q(x，f(x))，|PQ|≤
2
}．设Mt，mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h（t）=Mt-mt．则：
（1）若函数f（x）=x，则h（1）=
 
；
（2）若函数f(x)=sin
π
2
x，则h（t）的最大值为
 
．

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