Question

已知正方形ABCD的边长为2，在正方形及其内部任选一点P（在正方形及其内部点的选取都是等可能的），作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，矩形PMAN的面积为S．
（1）请建立适当的坐标系，设P（x，y），写出x，y满足的条件，并作出满足S≤1的P点的区域；
（2）求S≤1的概率．

Answer 1

分析：（1）分别以AB、AD为x轴、y轴，建立直角坐标系．根据矩形的面积公式得P坐标为（x，y）时，S=xy≤1对应的区域在曲线y=

1

x

的下方、且在正方形内部的部分．由此可得相应的不等式组并作出图形如图所示．
（2）根据定积分的几何意义，利用积分计算公式算出阴影部分面积为ln4+1，结合正方形ABCD的面积为4利用几何概型计算公式，即可算出S≤1的概率．

解答：解：（1）以直线AB为x轴，AD为y轴，A为坐标原点建立直角坐标系．-------（1分）
∵点P（x，y）在正方形及其内部，
∴S=xy（0≤x≤2，0≤y≤2）．-----------（3分）
故满足满足S≤1的P（x，y）点满足的条件是

0≤x≤2 0≤y≤2 xy≤1

-----------（5分）
P点的区域如右图所示．-----------------------（7分）
（2）P点所在的区域面积为
S=2

∫

2 1

1

x

dx+1×1=2(lnx)

|

2 1

 +1=2ln2+1=ln4+1，-------（12分）
∵正方形ABCD的面积为S'=4，
∴满足S≤1的概率为P=

S

S′

=

ln4+1

4

．------------------（14分）

点评：本题着重考查了不等式组表示的平面区域、定积分的几何意义与积分计算公式和几何概型计算公式等知识，属于中档题．