题目内容

7．经过椭圆x2+2y2=2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$等于（　　）
A．-3B．±$\frac{1}{3}$C．-$\frac{1}{3}$D．-$\frac{1}{2}$

分析 由椭圆x2+2y2=2可求椭圆的焦点为F（±1，0），不妨设所作直线l过焦点（1，0），可得直线L：y=x-1，联立可求A，B．然后由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2，代入可求．

解答 解：∵椭圆x2+2y2=2中a=$\sqrt{2}$，b=1
∴c=1
椭圆的焦点为F（±1，0）
不妨设所作倾斜角为45°的直线l过焦点（1，0），故直线L：y=x-1
联立$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\{x}^{2}+2{y}^{2}=2\end{array}\right.$消去y可得，3x2-4x=0
解方程可得，x1=0，x2=$\frac{4}{3}$
代入直线y=x-1可得，y1=-1，y2=$\frac{1}{3}$
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=-$\frac{1}{3}$
故选：C．

点评 本题主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆的相交关系的应用，向量数量积的坐标表示等知识的综合应用，属于综合性试题．

练习册系列答案
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A．（0，1）B．（1，3）C．（1，+∞）D．（3，+∞）
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②△PB1B2为钝角三角形的概率为$\frac{b}{a}$；
③△PA1A2为钝角三角形的概率为$\frac{b}{a}$； 
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其中正确的命题有①②④．（填上你认为所有正确的命题序号）
19．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的顶点为A1，A2，B1B2，焦点为F1，F2，a2+b2=7
S${\;}_{?{A}_{1}{B}_{1}{A}_{2}{B}_{2}}$=2S${\;}_{?{B}_{1}{F}_{1}{B}_{2}{F}_{2}}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线m过P（1，1），且与椭圆相交于A，B两点，当P是A，B的中点时，求直线m的方程．
16．若椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆右焦点F2 斜率为k（k≠0的直线l与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2 的斜率为k′，求证：k•k′为定值．
17．函数f（x）=x+lgx的零点所在的区间为（　　）
A．（0，$\frac{1}{10}$）B．（$\frac{1}{10}$，1）C．（1，10）D．（10，+∞）

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