Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则当x∈[-4，4]时不等式x?f′（x）＜0的解集为（　　）

• A、（-2，0）∪（2，4）
• B、（-4，-2）∪（0，2）
• C、（-2，0）
• D、（0，2）

Answer 1

分析：根据条件求出函数的周期性，利用函数的奇偶性周期性和单调性之间的关系得到函数f（x）的草图，然后讨论x的符号，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答：解：由f（x-4）=-f（x）得f（x-8）=-f（x-4）=-[-f（x）]=f（x），
即函数的周期是8．
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（x-4）=-f（x）=f（-x），
即函数关于

x-4-x

2

=-2对称．
∴f（0）=0，f（-4）=-f（0）=0，f（4）=0．
∵在区间[0，2]上f（x）是增函数，
∴f（x）在[-2，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[-4，-2]上是减函数．
作出函数的草图如图：
若x=0时，不等式x•f′（x）＜0不成立．
若x＞0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时2＜x＜4．
若x＜0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时-2＜x＜0，
故不等式x•f′（x）＜0的解集为（-2，0）∪（2，4）．
故选：A．

点评：本题主要考查函数周期性，奇偶性和单调性之间的关系，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．综合考查了函数性质的综合应用．