Question

(理)已知函数f(x)＝lnx＋＋ax，x∈(0，＋∞)(a为实常数)．

(Ⅰ)当a＝0时，求f(x)的最小值；

(Ⅱ)若f(x)在[2，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围；

(Ⅲ)设各项为正的无穷数列{x_n}满足lnx_n＋＜(n∈N^*)证明：x_n≤1(n∈N^*)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)a＝0时，， 　　 　　a≥0时，ax2＋x－1在[2，＋∞)上恒大于零，即，符合要求　　4分 　　当a＜0时，令，g(x)在[2，＋∞)上只能恒小于零 　　故Δ＝1＋4a≤0或 　　∴a的取值范围是　　6分 　　(3)反证法：假设x1＝b＞1，由， 　　　　8分 　　故　　① 　　又由(2)当b＞1时， 　　与①矛盾，故b≤1，即x1≤1； 　　同理可证x2≤1，x3≤1，…，xn≤1(n∈N*)　　14分