Question

（2011•普陀区三模）（理）已知函数f(x)=

sinπx x∈[0，1] log2011x x∈(1，+∞)

若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是

（2，2012）

．

Answer 1

分析：不妨设a＜b＜c，根据题意在坐标系里作出函数的图象，将直线y=y₀进行平行移动，可得左边两个交点关于直线x=

1

2

对称，故a+b=1，再观察对数函数图象得c满足1＜c＜2011，才能使两个图象有三个公共点，最后综合以上两点，可得出a+b+c的取值范围．

解答：解：根据题意，不妨设a＜b＜c，可得
作出函数的图象，直线y=y₀交函数图象于如图，由正弦曲线的对称性，
可得A（a，y₀）与B（b，y₀）关于直线x=

1

2

对称，因此a+b=1

当直线线y=y₀向上平移时，经过点（2011，1）时图象两个图象恰有两个公共点（A、B重合）
所以0＜y₀＜1时，两个图象有三个公共点，此时满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），
说明1＜c＜2011，因此可得a+b+c∈（2，2012）
故答案为（2，2012）

点评：本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，属于中档题．利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．