Question

（理）已知以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为

2

10

．

Answer 1

分析：先设椭圆方程与直线方程联立，根据判别式等于0求得m和n的关系式，同时椭圆的焦点坐标求得半焦距得到m和n的另一个关系式，两个关系式联立方程即可求得m和n，则椭圆的长轴可得．

解答：解：设椭圆方程为mx²+ny²=1（m≠n＞0），
直线x+y+4=0代入椭圆方程，消x得：（m+n）y²+8ny+16n-1=0，
△=64n²-4（16n-1）（m+n）=0，
整理，得m+n=16mn
又c=2，由焦点在x轴上，
所以

1

m

-

1

n

=4，联立解得：m=

1

10

，n=

1

6

故长轴长为2

10

；
故答案为2

10

．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系．常需要把直线方程和椭圆方程联立，根据直线与椭圆的关系利用判别式或韦达定理来解决问题．