Question

（本小题12分）如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直．直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系。

Answer 1

解：（1）将整理得
解方程组得直线所经过的定点（0，1），所以．
由离心率得．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，则．
∵，∴．∴
∴点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在
以为直径的圆上．
又，∴直线的方程为．
令，得．又，为的中点，∴．
∴，．
∴
．
∴．∴直线与圆相切．

略