Question

设f(x) 是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(0)=1，数列{a_n} 满足
a₁=4，(n∈N*)；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n是数列{a_n}的前n项和， 试比较S_n与6n²-2的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设知可化为
，
∵y=f(x)是定义在R上的单调减函数，
∴，即，
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，
即a_n=。
（Ⅱ）S_n=a₁+a₂+a₃+···+a_n =4(1+3¹+3²+···+3^n-1)=2(3ⁿ-1) ，
当n=1时，有S_n=6n²-2=4；
当n=2时，有S_n=16<6n²-2=22；
当n=3时，有S_n=6n²-2=52；
当n=4时，有S_n=160>6n²-2=94；
当n=5时，有Sn=484>6n²-2=148。
由此猜想当n≥4时， 有S_n>6n²-23^n-1>n²，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时显然成立；
②假设当n=k(k≥4，k∈N*)时， 有3^k-1>k²；
当n=k+1时，有3^k=3·3^k-1>3k²，
∵k≥4，
∴k(k-1)≥12， ∴3k²-(k-1)²=2k(k-1)-1>0即3k²>(k+1)²，
∴3^k>3k²>(k+1)²， ∴3^k>(k+1)²，因此当n=k+1时原式成立。
由①②可知，当n≥4时有3^n-1>n²，
即S_n>6n²-2，
综上可知当n=1，3时，有S_n=6n²-2；当n=2时，有S_n<6n²-2；当n≥4时，有S_n>6n²-2。