Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，a_n+1=（n=1，2，3，…），求证：

    （1）数列{}是等比数列；

    （2）S_n+1=4a_n.

   

Answer 1

证明：（1）a_n+1=S_n+1-S_n，a_n+1=，   

 

 ∴(n+2)S_n=n(S_n+1-S_n).

 

    整理得nS_n+1=2(n+1)S_n，

    ∴=2.

    故{}是以2为公比的等比数列.

    （2）由（1）知=4 (n≥2)，

    于是S_n+1=4(n+1)=4a_n(n≥2).

    又a₂=3S₁=3，故S₁=a₁+a₂=4，因此对于任意整数n≥1，都有S_n+1=4a_n.

    评注：本题求证的结论含有S_n，一般先用公式a_n+1=S_n+1-S_n把题中所给的关系式转化为含S_n的递推关系式，这是本题的一个灵活之处，考查了同学们灵活运用所学知识的能力，而第二问又考查了分析问题和逻辑推理的能力.