题目内容

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，n∈N^*．求数列{b_n}的通项公式．

解：由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1，整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∵b_n≠0否则a_n=1，与a₁=2矛盾，从而得 $\text{[math]}$ ，
∵b₁=a₁-1=1
∴数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公差为1的等差数列
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
分析：由题设条件推出b_n-b_n+1=b_nb_n+1，b_n≠0否则a_n=1，与a₁=2矛盾，从而得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由此可知 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的求和公式，解题时要认真审题，仔细解答．

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已知数列{a_n}和{b_n}满足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=

(n∈N*)．且{b_n}是以
a为公比的等比数列．
（Ⅰ）证明：a_a+2=a₁a²；
（Ⅱ）若a_3n-1+2a₂，证明数例{c_x}是等比数例；
（Ⅲ）求和：

已知数列{a_n}和{b_n}满足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-

．
（1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列；
（2）当λ=-

时，试判断{b_n}是否为等比数列．

已知数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=4，a₂=b₂=2，a₃=1，且数列{a_n+1-a_n}是等差数列，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在k∈N^*，使得ak-bk∈(

，3]？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21）其中λ为实数，且λ≠-18，n为正整数．
（Ⅰ）求证：{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

（2011•孝感模拟）已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1且bn=1-2an，bn+1=

．
（I）证明：数列{

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k

对任意正整数n都成立的最大实数k．