Question

给出下列四个命题
①函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_a ax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=x³与y=3^x的值域相同；
③“a=1”是“函数f（x）=

a-ex

1+aex

是在定义域上的奇函数”的充分不必要条件；
④函数y=（x-1）²与y=2^x-1在区间[0，+∞）上都是减函数
其中正确的命题是______．（将所有正确的命题序号填在横线上）．

Answer 1

由于y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_a ax（a＞0且a≠1）的定义域都是R，
所以①是真命题；
由于函数y=x³的值域是R，而函数y=3^x的值域是（0，+∞）
所以y=x³与y=3^x的值域不相同，可得②是假命题；
对于③，当a=1时，函数f（x）=

a-ex

1+aex

即f(x)=

1-ex

1+ex

，满足f（-x）=

-1+ex

1+ex

=-f（x）是奇函数；
反之若f（x）=

a-ex

1+aex

是奇函数，由f（-x）=-f（x）比较系数得a=-1
故“a=1”是“函数f（x）=

a-ex

1+aex

是在定义域上的奇函数”的充要条件，可得③是假命题；
对于④，二次函数y=（x-1）²在区间[0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数
y=2^x-1在区间[0，+∞）上是增函数
因此y=（x-1）²与y=2^x-1在区间[0，+∞）上都不是减函数，得④不正确
综上所述，其中的正确命题是①
故答案为：①