Question

（2012•湛江二模）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，各侧棱均与底面边长相等，E、F分别是PA、PC的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE丄平面BDF；
（3）求四面体E-BDF的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O．连接OE．E、O分别是PA、AC的中点．推出EO∥PC．然后证明PC∥平面BDE．
（2）证明BE⊥PA，DE⊥PA，推出PA⊥平面BDE，然后证明平面BDE⊥平面BDF．
（3）利用V_E-BDF=V_F-BDE=

1

3

•OF•S△EBD求出BE、BD，然后求解体积．

解答：解：（1）证明：连接AC交BD于O．连接OE．
在△PAC中，E、O分别是PA、AC的中点．
∴EO∥PC．
∵EO?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）证明：∵△PAB是等边三角形，且E是PA的中点，
∴BE⊥PA，同理DE⊥PA，
∴PA⊥平面BDE，
在△PAC中，F、O分别是PC、AC中点
∴OF⊥平面BDE，而OF?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）解：∵OF⊥平面BDE，
∴V_E-BDF=V_F-BDE=

1

3

•OF•S△EBD
在等边三角形PAB中，PA=AB=2a，E是PA中点，
∴BE=

AB2-AE2

=

3

a同理DE=

3

a，
∵BD=

AB2+AD2

=2

2

a
在等腰三角形EBD中，EO是底边BD上的高
∴EO=

EB2-BO2

=a，显然，OF=EO，
∴V_E-BDF=V_F-BDE=

1

3

•OF•S△EBD
=

1

3

•a•

1

2

•BD•EO=

2

3

a3．

点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力．