Question

【题目】已知在直角坐标系xOy中，P（1，1），A（x，0）（x＞0），B（0，y）（y＞0）

（Ⅰ）若x=，⊥，求y的值；

（Ⅱ）若△OAB的周长为2，求向量与的夹角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）分别求得A，，的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得y的值；

（Ⅱ）由题意可得x+y+=2，移项平方，计算向量与的数量积，以及模的乘积，再由向量夹角公式，即可得到所求角．

解：（Ⅰ）若x=，P（1，1），A（，0），B（0，y）（y＞0），

可得=（-1，y-1），=（-，y），

由⊥，可得=+y2-y=0，

解得y=；

（Ⅱ）若△OAB的周长为2，

即为x+y+=2，

即有2-x-y=，

平方可得4-4x-4y+2xy=0，

即1-x-y=-xy，

又=（x-1，-1），=（-1，y-1），

=1-x+1-y=2-x-y=，

||||=

=

=

=

==，

则cos＜，＞==，

由0≤＜，＞≤π，

可得向量与的夹角为．