Question

已知实数x，y满足x-2

x+1

=2

y+1

-y，则x+y的取值范围是

[2+2

3

，4+4

2

]．

．

Answer 1

分析：实数x，y满足x-2

x+1

=2

y+1

-y，化为(

x+1

-1)2+(

y+1

-1)2=4．令

x+1

-1=2cosθ，

y+1

-1=2sinθ，θ∈[0，2π），且

2cosθ≥-1 2sinθ≥-1

，解得θ∈[0，

2π

3

)∪[

11π

6

，2π)．
可得x+y=4+4

2

sin(θ+

π

4

)，进而求出范围．

解答：解：实数x，y满足x-2

x+1

=2

y+1

-y，化为(

x+1

-1)2+(

y+1

-1)2=4．
令

x+1

-1=2cosθ，

y+1

-1=2sinθ，θ∈[0，2π），且

2cosθ≥-1 2sinθ≥-1

，
解得θ∈[0，

2π

3

)∪[

11π

6

，2π)．
化为x+y=4+4

2

sin(θ+

π

4

)，
∴(θ+

π

4

)∈[

π

4

，

11π

4

)∪[

25π

12

，

9π

4

)．
当θ=

π

4

，则sin(θ+

π

4

)=1取得最大值，x+y取得最大值4+4

2

．
当θ+

π

4

=

25π

12

时，sin(θ+

π

12

)=

6 - 2

4

时，x+y取得最小值2+2

3

．
因此x+y的取值范围是[2+2

3

，4+4

2

]．
故答案为[2+2

3

，4+4

2

]．

点评：本题考查了配方法、换元法、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．