题目内容

直线l：x-y=0与椭圆 $数学公式$ +y²=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：设过C点且与AB平行的直线L方程为 y=x+c，L与AB距离就是C点到AB的距离，也就是三角形ABC的BC边上的高，只要L与椭圆相切，就可得L与AB最大距离，从而可得最大面积．
解答：直线l：x-y=0与椭圆 $\text{[math]}$ +y²=1联立，消元可得 $\text{[math]}$ ，∴x=± $\text{[math]}$
∴不妨设A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
∴|AB|= $\text{[math]}$
设过C点且与AB平行的直线L方程为 y=x+c，L与AB距离就是C点到AB的距离，也就是三角形ABC的BC边上的高．
只要L与椭圆相切，就可得L与AB最大距离，可得最大面积．
y=x+c代入椭圆 $\text{[math]}$ +y²=1，消元可得3y²-2cy+c²-2=0
判别式△=4c²-12（c²-2）=0，∴c=± $\text{[math]}$
∴L与AB最大距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴△ABC最大面积： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是求出L与AB最大距离．

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