Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=81（n∈N⁺）
（Ⅰ）若{b_n}为等差数列，且满足b₂=a₁，b₅=a₂，分别求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=log₃a_n，求数列{c_n•a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意a₁=3，a₄=81，可求得等比数列{a_n}的公比q，从而可求其通项公式；再由等差数列{b_n}中b₂=a₁，b₅=a₂，即可求得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）易求得c_n•a_n=n3ⁿ，T_n=3+2×3²+3×3³+…+（n-1）3^n-1+n3ⁿ，利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=81，
∴由a₄=a₁q³得81=3q³，即q³=27，q=3…2分
∴a_n=3×3^n-1=3ⁿ…4分
在等差数列{b_n}中，根据题意，b₂=a₁=3，b₅=a₂=9…5分
∴d=

b5-b2

5-2

=

9-3

3

=2…6分
∴b_n=b₂+（n-2）d=3+（n-2）×2=2n-1…8分
（Ⅱ）∵数列{c_n}满足c_n=log₃a_n，又a_n=3ⁿ，
∴c_n=log33n=n，
∴c_n•a_n=n3ⁿ…9分
∴T_n=3+2×3²+3×3³+…+（n-1）3^n-1+n3ⁿ①
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）3ⁿ+n3ⁿ⁺¹②…10分
②-①得：
2T_n=n3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3^n-1+3ⁿ）…12分
=n3ⁿ⁺¹-

3(1-3n)

1-3

…13分
∴T_n=

(2n-1)3n+1

4

+

3

4

…14分

点评：本题考查数列的求和，突出考查等比数列与等差数列的通项公式，考查错位相减法求和，注重运算能力与转化思想的考查，属于中档题．