Question

已知数列{a_n}是首项为1的等差数列，其公差d＞0，且a₃，a₇+2，3a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：a1+

a2

2

+

a3

22

+…+

an

2n-1

＜4（n∈N*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，(a7+2)2=a₃•3a₉，a₁=1，可求得d=1，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n=a₁+

a2

2

+

a3

22

+…+

an

2n-1

，则S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，利用错位相减法可求得S_n=4-

n+2

2n-1

，从而可证结论．

解答：解：（Ⅰ）因为a_n=1+（n-1）d，则a₃=1+2d，a₇=1+6d，a₉=1+8d．（3分）
由已知，(a7+2)2=a₃•3a₉，则（3+6d）²=3（1+2d）（1+8d），即2d²-d-1=0．（5分）
所以（2d+1）（d-1）=0．
因为d＞0，则d=1，
故a_n=n．（6分）
（Ⅱ）设S_n=a₁+

a2

2

+

a3

22

+…+

an

2n-1

，则S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
则

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

．（8分）
两式相减得，

1

2

S_n=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
所以S_n=4-

n+2

2n-1

．（12分）
因为

n+2

2n-1

＞0，则4-

n+2

2n-1

＜4，故a₁+

a2

2

+

a3

22

+…+

an

2n-1

＜4．（13分）

点评：本题考查数列求和，突出考查等差数列的通项公式与错位相减法求和的应用，考查推理与运算能力，属于中档题．