Question

如图，正三棱柱的所有棱长都相等，D为的中点.

（1）       求证：平面

（2）       求直线BD与平面所成的角

Answer 1

解：解法一：

（1）取BC中点O，连结AO．

∵△ABC为正三角形，  ∴AO⊥BC  

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中。平面ABC⊥平面BCC_lB₁。，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC

∴AO⊥平面BC C₁B₁  

连结B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O、D分别为BC、CC₁的中点

∴B_lO⊥BD   

 ∴AB_l⊥BD  

 在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，

  ∴AB₁⊥平面A₁BD

（Ⅱ）设正三棱锥的棱长为2，在RtA₁DC₁中，A₁C₁=2,C₁D=1

  ∴ A₁D=   同理B₁D=BD=  

  作DE⊥A₁B₁，则E为A₁B₁的中点，DE=2

  ∴

  由（I）AO⊥平面BCC₁B₁，且AO= 

∴A₁到面BB₁D的距离为，设点B到面A₁B₁D的距离为h,

  由得

∴

  设BD与平面A₁B₁D所成的角为0，

  则

  因此，BD与平面A₁B₁D所成的角为

解法二：

（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．∵ △ABC为正三角形。∴OA⊥BC．

              ∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BC₁C₁B_l，

∴ AO⊥平面BCC₁B₁．

  取B₁C₁中点O₁，以O为原点，,,的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

    设正三棱锥的棱长为2，则B（1，0，0），D（一1，1，0），A．（0，2，），A（0，0，），B．（1，2，0），

∴=（1，2，一），=（-2，1，0），=（一1，2，），

∵?=-2+2+0 =0， ?=-1+4 -3=0，

∴⊥, ⊥,∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）=（1，1，），=（1，0，）．设平面A₁B₁D的法向量n=（x₁,y_1,z₁）．

则得

n=（，，1）为平面A₁B₁D的一个法向量．

∵ ∴

    因此，BD与平面A₁B₁D所成的角为。