Question

已知函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的表达式．
（II）若sinα+f(α)=

2

3

，求

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（I）函数是偶函数，求出?，利用图象上相邻两对称轴之间的距离为π，求出ω，即可求得函数f（x）的表达式．
（II）利用两角和的正弦以及弦切互化，化简

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

为sinαcosα，应用sinα+f(α)=

2

3

，求出所求结果即可．

解答：解：（I）∵f（x）为偶函数
∴sin（-ωx+?）=sin（ωx+?）
即2sinωxcos?=0恒成立
∴cos?=0，
又∵0≤?≤π，∴?=

π

2

（3分）
又其图象上相邻对称轴之间的距离为π
∴T=2π∴ω=1
∴f（x）=cosx（6分）
（II）∵原式=

sin2α-cos2α+1

1+tanα

=2sinαcosα（10分）
又∵sinα+cosα=

2

3

，∴1+2sinαcosα=

4

9

（11分）
即2sinαcosα=-

5

9

，故原式=-

5

9

（12分）

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题．