Question

已知函数f（x）=2sin（

1

3

x-

π

6

），x∈R
（1）求f（

5π

4

）的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（3α+

π

2

）=

10

13

，f（3β+2π）=

6

5

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）把x=

5π

4

代入函数f（x）的解析式中，化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对应的函数值；
（2）分别把x=3α+

π

2

和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα和cosβ的值，然后根据α和β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）把x=

5π

4

代入函数解析式得：
f（

5π

4

）=2sin（

1

3

×

5π

4

-

π

6

）=2sin

π

4

=

2

；
（2）由f（3α+

π

2

）=

10

13

，f（3β+2π）=

6

5

，代入得：
2sin[

1

3

（3α+

π

2

）-

π

6

]=2sinα=

10

13

，2sin[

1

3

（3β+2π）-

π

6

]=2sin（β+

π

2

）=2cosβ=

6

5

sinα=

5

13

，cosβ=

3

5

，又α，β∈[0，

π

2

]，
所以cosα=

12

13

，sinβ=

4

5

，
则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

12

13

×

3

5

-

5

13

×

4

5

=

16

65

．

点评：此题考查学生掌握函数值的求法，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．