Question

已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足|

PF

|，

2

2

|

FF′

|，|PF′|成等差数列
（1）求动点P的轨迹E的方程
（2）过点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的意义和椭圆的定义即可得出；
（2）对直线l的斜率分类讨论，利用中垂线方程和正方形的性质即可得出．

解答：解：（1）由题意可得：|

PF

|+|

PF′

|=2•

2

2

|

FF′

|=2

2

＞|

FF′

|，
由椭圆的定义可得：动点P的轨迹E是椭圆，且a=

2

，c=1，∴b²=a²-c²=1，
∴动点P的轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）①当直线l与x轴垂直时，l：x=1．
此时M(1，

2

2

)，N(1，-

2

2

)，以MN为对角线的正方向的另外两个顶点为(1±

2

2

，0)，不合题意；
②当直线l与x轴既不垂直也不重合时，设l：y=k（x-1）（k≠0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

．
∴MN的中点坐标为(

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

)．
则线段MN的中垂线m的方程为y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2+1

)，
即m：y=-

x

k

+

k

2k2+1

，
则直线m与y轴的交点为Q(0，

k

2k2+1

)，
而以MN为对角线的正方形的第三个顶点Q恰在y轴上，
∴QM⊥QN，即

QM

•

QN

=(x1，y1-

k

2k2+1

)•(x2，y2-

k

2k2+1

)=0，
整理得x1x2+y1y2-

k

2k2+1

（y₁+y₂）+

k2

(2k2+1)2

=0，（*）
由

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=- k2 2k2+1 y1+y2=k(x1+x2-2)=- 2k 2k2+1

代入（*）解得k=±1．
故所求直线方程为x+y-1=0或x-y-1=0．

点评：熟练掌握等差数列的意义和椭圆的定义、分类讨论、中垂线方程和正方形的性质是解题的关键．