Question

为建设好长、株、潭“两型社会”改革实验区，加快二市经济一体化进程，某规划部门在三市的交界处拟建一个大型环保生态公园，并在公园入口处的东南方位建造一个供市民休闲健身的小型绿化广场，如图是步行小道设计方案示意图，其中，Ox，Oy分别表示自西向东，自南向北的两条主干道，设计方案是自主干道交汇点O处修一条步行小道，小道为抛物线y=x²的一段，在小道上依次以点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P(xn，yn)(n≥10，n∈N*)为圆心，修一系列圆型小道，且这些圆型小道与主干道Ox分别于相切于A₁，A₂，…，A_n，…，且任意相邻的两圆彼此外切，若x₁=1（单位：百米），且x_n+1＜x_n．
（1）记⊙P₁，⊙P₂，…，⊙P_n，…的半径r_n组成的数列为{r_n}，求通项公式r_n；
（2）若修建这些圆形小道工程预算总费用为50万元，根据以往施工经验可知，面积为S的圆形小道的实际施工费用为10

πS

万元，试问修建好前n（n≥10，n∈N^*）个圆型小道，预算费用是否够用，请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）设⊙P_n的半径rn=yn=

x

2 n

，面积为S_n，根据两圆相切，圆心距等于两圆半径和，可得{

1

xn

}的首项为l，公差为2的等差数列，进而求出数列{a_n}和{r_n}的通项公式，
（2）根据（1）中结论，利用裂项相消法可以求出前n个圆型小道的施工总费用时为T_n，比较后可得结论．

解答：解：（1）依题设⊙P_n的半径rn=yn=

x

2 n

，面积为S_n
∵⊙P_n与⊙P_n+1彼此相切，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1
∴

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=yn+yn+1，
两边平方，并整理得(xn-xn+1)2=4

x

2 n

x

2 n+1

又x_n＞x_n+1＞0，
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，
∴

1

xn+1

-

1

xn

=2
∴{

1

xn

}的首项为l，公差为2的等差数列，
∴

1

xn

=1+(n-1)•2=2n-1
∴xn=

1

2n-1

，
∴rn=

1

(2n-1)2

(n∈N*)
（2）设前n个圆型小道的施工总费用时为T_n
∵Sn=π

r

2 n

=π

x

4 n

=

π

(2n-1)4

∴Tn=10(

πs1

+

πs2

+…+

πsn

)=10π(

1

12

+

1

32

+…+

1

(2n-1)2

)≤10π(1+

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-3)(2n-1)

)=10π[1+

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

)]=10π(

3

2

-

1

4n-2

)＜15π＜50
故修建这些圆形小道工程预算费用够用．

点评：本题考查的知识点求数列的通项公式，数列求和，是数列问题的综合应用，熟练掌握求数列通项和数列求和的方法是解答的关键．