Question

若关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0，1]

B．[0，1）

C．（-∞，1）

D．（-∞，1]

Answer 1

若m=0，则关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0，即-3x+1=0，在（0，+∞）上有解x=

1

3

，符合题意．
若m≠0时，关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，就是说不能二根同为负．
如果二根同时为负，设方程的两根为x₁，x₂，则有：
x₁+x₂=

3-m

m

＜0，且x₁x₂=

1

m

＞0，
解得：m＞3，
所以至少有一正根时有：m≤3，
又判别式：（m-3）²-4m≥0，
即m²-10m+9≥0
即（m-9）（m-1）≥0
∴m≥9或者m≤1．
综上所述，若关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，则实数m的取值范围是m≤1．
故选D．