Question

10．设n∈N，求证：
（1）$\sqrt{n+1}$-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{n}}$＜$\sqrt{n}$；
（2）$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．
（2）利用$\frac{2n-1}{2n+1}$＜$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{2n}{2n+1}$，即可证明不等式

解答 证明：（1）①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即$\sqrt{k+1}$-1＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{k}}$＜$\sqrt{k}$，
n=k+1时，$\sqrt{k+1}$-1+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{k}}$+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$＜$\sqrt{k}$+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$，
∵$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{k}}$+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$＜$\sqrt{k}$+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$＜$\frac{2\sqrt{k（k+1）}+1}{2\sqrt{k+1}}$＜$\frac{k+k+1+1}{2\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1}$，
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{k}}$+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k+1}$-1+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$=$\frac{2k+2+1}{2\sqrt{k+1}}$-1＞$\sqrt{k+2}$-1，
∴当n=k+1时，不等式也成立．
由①②可知，不等式成立；
（2）∵4n²-1＜4n²，即（2n+1）（2n-1）＜（2n）²．即$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{2n}{2n+1}$，
∴（$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$）²＜$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$×…×$\frac{2n}{2n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（n∈N^*）．
$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$＞$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$×…×$\frac{2n-1}{2n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$．

点评 本题考查数学归纳法证明含自然数n的表达式的证明方法，注意n=k+1的证明时，必须用上假设．利用放缩法证明的关键是放大与缩小，不能随便放缩．