Question

已知实数x，y满足

x-2y≤0 x+y-5≥0 y-3≤0

在不等式axy≥x²+y²恒成立，则实数a的最小值是（　　）

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．设P（x，y）是区域内一个动点，则k=

y

x

为直线OP的斜率，运动点P，可得k∈[

1

2

，

3

2

]．不等式axy≥x²+y²恒成立，可得a≥

y

x

+

x

y

恒成立，结合前面得到的k的取值范围，不难得到实数a的最小值．

解答：解：作出不等式组

x-2y≤0 x+y-5≥0 y-3≤0

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，
其中A（2，3），B（6，3），C（

10

3

，

5

3

）
∵区域位于第一象限，
∴不等式axy≥x²+y²恒成立，即a≥

x2+y2

xy

恒成立
令k=

y

x

，设P（x，y）是区域内一个动点，则k为直线OP的斜率
运动点P，可得当P与A重合时，k达到最大值

3

2

；当P与C重合时，k达到最小值

1

2

∴k=

y

x

∈[

1

2

，

3

2

]
∵

x2+y2

xy

=

y

x

+

x

y

=k+

1

k

≥2

k• 1 k

=2，当且仅当k=1时等号成立
∴

x2+y2

xy

的最小值为2，最大值为

1

2

+2=

5

2

因此，axy≥x²+y²恒成立，可得a≥

5

2

实数a的最小值为

5

2

故选：B

点评：本题给出二元一次不等式组，求使不等式恒成立实数a的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和不等式恒成立的理解等知识，属于基础题．