Question

【题目】已知函数，其中，且 .

（1）当（ 为自然对数的底）时，讨论的单调性；

（2）当 时，若函数存在最大值，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）求导可得，分类讨论:

①当，在上是减函数；

②当时，在上递减，在上递增.

（2）当，.据此可知：

①当时，无极大值，也无最大值；

②当，的极大值为，.其中即，令，结合导函数考查其单调性讨论可得的最小值为，此时.

详解：（1）由题，，

①当，当，在上是减函数；

②当，当，，在上是减函数；

当，，在上是增函数.

即当时，在上个递减；

当时，在上递减，在上递增.

（2）当，，.

①当时，，，则，在上为增函数，无极大值，也无最大值；

②当，设方程的根为，得.

即，

所以在上为增函数，在上为减函数，

则的极大值为，.

令，令，.

.

当时；当时，所以为极小值也是最小值点.

且，即的最小值为，此时.