Question

已知曲线C：与函数f（x）=log_ax及函数g（x）=a^x，（其中a＞1）的图象分别交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁²+x₂²的值为（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

Answer 1

【答案】分析：曲线C：以原点为圆心以2为半径在y轴右侧的半圆，函数f（x）=logax及函数g（x）=ax互为反函数，由反函数的对称性可知x₂=y₁，再根据A（x₁，y₁）在曲线C上可知x₁²+y₁²=x₁²+x₂²=4．
解答：解：∵，∴x²+y²=4（0≤x≤2），
∵曲线C：与函数f（x）=log_ax及函数g（x）=a^x，（其中a＞1）的图象分别交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且函数f（x）=logax及函数g（x）=ax互为反函数，
∴A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x对称，
∴x₂=y₁．∵A（x₁，y₁）在曲线C上，
∴x₁²+y₁²=x₁²+x₂²=4．
故答案是4．
点评：函数f（x）=logax及函数g（x）=ax互为反函数，由反函数意义即对称性解题．