题目内容
（2012•淮北二模）已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，满足|
|-|
|=4，|
-
|=10，
=
，且
=
+λ（
+
），（λ＞0），则
的值为（ ）
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| BI |
| BA |
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||||
|
|
分析：根据
=
表示|
|cos∠APC=|
||cos∠CPB，即∠APC=∠CPB，且
=
+λ（
+
），（λ＞0），表示I在∠BAP的角平分线上，
即I是三角形ABP的内心，余下的问题就比较简单．
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| PC |
| PC |
| BI |
| BA |
| ||
|
|
| ||
|
|
即I是三角形ABP的内心，余下的问题就比较简单．
解答：解：由|
-
|=10，可得|AB|=10．
由
=
，可得|
|cos∠APC=|
||cos∠CPB，即∠APC=∠CPB，即PC为∠APB的角平分线．
由于I为PC上一点，
=
+λ（
+
），（λ＞0），表示点I在∠CAP的角平分线上，即I是三角形ABP的内心．
而要求的式子
表示的是
在
上的投影长度．
过I做IK垂直于AB于K，则由圆的切线性质和题意可得|AK|-|BK|=4，|AK|+|BK|=10，解得|BK|=3即所求，
故选C．
| PA |
| PB |
由
| ||||
|P
|
| ||||
|P
|
| PC |
| PC |
由于I为PC上一点，
| BI |
| BA |
| ||
|
|
| ||
|
|
而要求的式子
| ||||
|B
|
| BI |
| AB |
过I做IK垂直于AB于K，则由圆的切线性质和题意可得|AK|-|BK|=4，|AK|+|BK|=10，解得|BK|=3即所求，
故选C．
点评：本题考查向量在几何中的应用，本题解题的关键是正确理解条件中所给的几个关系式，注意把条件转化成我们所熟悉的条件，本题是一个比较好的题目，属于中档题．
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