Question

已知函数f(x)=ax³+bx²+c(a,b,c∈R，a≠0).

   （1）若函数y=f(x)的图象经过点(0,0),(-1,0)，求函数y=f(x)的单调区间；

   （2）若a=b=1，函数y=f(x)与直线y=2的图象有两个不同的交点，求c的值。

Answer 1

解（1）把点P（-1，0）代入y=f(x)得-a+b+c=0，又c=0，故a=b

由f’(x)=3ax²+2ax=ax(3x+2)=0得，x₁=0,x₂=-，

故当a＞0时，f(x)的单调递增区间是（-∞，-），（0，+∞）

单调递减区间是（-，0）

当a＜0时，f(x)的单调递减区间是（-∞，-），（0，+∞）

单调递增区间是（-，0） ………………………………………………（6分）

   （2）当a=b=1时，f(x)的单调递增区间是（-∞，-），（0，+∞），

单调递减区间是（-，0）

故当x=-时，f(x)取极大值为f(-)=-++c，

当x=0时，f(x)的极小值为f(0)=c

要使函数y=f(x)与直线y=2的图象有两个不同的交点，则必须满足-++c=2或c=2

故c=或2.…………………………………………………………………（6分）